给定实数x，一步操作可选择将其变为sin(x),cos(x),tan(x),arcsin(x),arccos(x),arctan(x)，初始时x=0，求证对于任意的正有理数q，可经过有限次操作后使x=q。据说是美国数学奥林匹克的一道题

构造非常巧妙：

1.构造函数f(x)=1/x，x为任意非零实数，小证一下：

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2.构造函数g(x)=√(x^2+1)，x为正实数：

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接下来的步骤就神奇了。我们假设在操作过程中，y总等于x的平方。对x进行操作，看看y值如何变化：

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这样可以完成对y的取倒数和加1工作，将g’(y)迭代多次可以将y加任意一个正整数。还要注意一点：使用f,g函数时，x始终为正实数，这样保证了x与y一一对应。初始时y=0，目标y=q^2，而q^2显然是有理数，设q^2=u/v，u,v为互质正整数，我们可以利用辗转相除的思想。

不妨举个例子：目标（y）为49/9。

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可以看到，实际上我们把49/9化为了有限连分数，我们的操作顺序就很清楚了：用4次g函数，取倒数，用2次g函数，取倒数，用5次g函数即可，得到y=49/9,相应地x=7/3。

问题已经得到解决，并且我们还可以得出任意正有理数的算术平方根。